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Relatividade Geral no Mathematica

sábado, 5 mar 2011; \09\America/New_York\America/New_York\k 09 4 comentários

Esse post é diferente do que eu escrevo usualmente, será um tutorial de um programa em desenvolvimento para fazer contas simbólicas em gravitação no Mathematica. Isso pode ser muito últil em um curso de Relatividade Geral da pós-graduação e teoria quântica de campos em espaço-tempos curvos, além de pesquisa.

Primeiro, você vai precisar do pacote xAct:

http://www.xact.es/

O xAct é dividido em vários subpacotes, eu vou me concentrar nos dois primeiros destes aqui:

  1. xTensor: permite usar a mesma notação de tensores usada na física, dentro do Mathematica. É a função principal do xAct.
  2. xCoba: permite definir sistemas de coordenadas.
  3. xPert: teoria de perturbação em gravitação.

Eu coloquei o terceiro acima para chamar a sua atenção. O objetivo do xAct é permitir escrever contas complicadas usando tensores, o que se tornou necessário com o avanço da cosmologia que hoje já requer perturbação em segunda ordem em Relatividade Geral.

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Quando buracos negros colidem

domingo, 26 jul 2009; \30\America/New_York\America/New_York\k 30 3 comentários

Em 1964, Susan Hahn e Richard Lindquist, então na IBM Nova York, decidiram estudar numericamente a evolução temporal de dois buracos de minhoca (Ann. Phys. 29:2 304 (1964)). Parece uma tarefa fácil: você decompõe as equações da Relatividade Geral em uma forma adequada, coloca no computador e pede a resposta! Mas Hahn e Lindquist encontraram uma pedra no caminho: o programa congelava antes de dar qualquer resposta útil. A simulação era impossível. O que eles descobriram foi um problema que demorou mais de quarenta anos para ser solucionado: como resolver as equações da Relatividade Geral em um computador?

Várias tentativas foram realizadas desde o pioneiro trabalho de Hahn e Lindquist em busca do tratamento numérico adequado para a Relatividade Geral e envolveu físicos teóricos eminentes como Kip Thorne e Saul Teukolsky, mas sem nenhum sucesso. Em 1990, o projeto LIGO, o experimento que tem a maior chance de em breve detectar as ondas gravitacionais, trouxe grande pressão para a resolução desse problema. Estimava-se que as maiores fontes de luminosidade em ondas gravitacionais no universo seriam as fusões de buracos negros, provavelmente os objetos de mais fácil acesso ao experimento. Todavia, o cálculo da irradiação gravitacional desse fenômeno não pode ser feito pelas técnicas analíticas de solução da Relatividade Geral: é necessário obter uma resposta aproximada numericamente. A National Science Foundation nos Estados Unidos iniciou em 1990 então um programa específico de financiamento para um esforço de resolver o problema.

A grande revolução surgiu em um artigo submetido a 4 de julho de 2005 ao arXiv: Frans Pretorius, da Universidade de Alberta do Canadá e do CalTech, Estados Unidos, tornou pública a primeira simulação numérica bem sucedida da fusão de dois buracos negros. O resultado mais importante da simulação é a forma da onda gravitacional em função do tempo (cf. figura).

Onda gravitacional da fusão de buracos negros, como medida em um ponto fixo no espaço em função do tempo.

Onda gravitacional da fusão de buracos negros, como medida em um ponto fixo no espaço em função do tempo.

As simulações numéricas permitiram descobrir que a fusão de buracos negros emite cerca de 4% da massa total do binário em forma de ondas gravitacionais. Para um binário de buracos negros supermassivos — mil a um milhão de vezes mais pesado que o Sol — , como os que existem no centro de quase toda galáxia no universo, a potência irradiada pelo processo de fusão é da ordem de 1023 vezes a luminosidade intrínseca do Sol. Para comparação, todas as estrelas do universo observável iluminando juntas o espaço tem uma potência de 1021 sóis. Uma única fusão de buracos negros emite em ondas gravitacionais mil vezes mais energia que 100 bilhões de galáxias juntas emitem em luz!

Mas quando dois buracos negros vão fundir no universo? Acredita-se que no núcleo de quase toda galáxia há um buraco negro, então quando duas galáxias colidem (se misturam seria uma expressão mais adequada) é possível que os buracos negros de seus centros formem um binário que após algumas voltas entram em rota de colisão. Fusão de galáxias é um processo comum na história, acredita-se que toda galáxia hoje passou por pelo menos uma. A Via Láctea está atualmente em fusão com sua vizinha elíptica, a galáxia anã Sagitário, e em cerca de 3 bilhões de anos colidirá com a galáxia de Andromeda.

O seguinte vídeo é uma simulacão numérica completa da fusão de dois buracos negros, trabalho do grupo de relatividade numérica do Centro Espacial Goddard da NASA. O que você vê em cores é a amplitude do campo gravitacional para um dos modos de polarização da onda emitida (o fundo estrelado é artificial, não é incluído na simulação). Mais do que um filme bonito, essas simulações permitirão abrir uma nova porta para a astronomia e física do universo primordial, como veremos.

Agora, voltando ao problema da programação da Relatividade. Um programa que faz esse tipo de simulação é o openGR, desenvolvido pelo Centro de Relatividade da Universidade do Texas em Austin, que como nome diz é um programa livre. Até o momento, apenas os problemas de fusão de buracos negros foram investigados. Um próximo passo natural é a evolução do campo gravitacional cosmológico. No futuro, as simulações do universo primordial conterão simultaneamente a evolução do campo gravitacional com todas as reações do plasma contido no universo — é literalmente uma simulação detalhada da evolução de tudo que há no universo, a geometria inclusive. De imediato, isso terá importância para a descrição minunciosa da variação espacial da temperatura da radiação cósmica de fundo — anisotropias da CMB, para ser curto — , que fornece informação do conteúdo do universo e da evolução dos bárions, neutrinos, fótons e matéria escura durante os primeiros 500 mil anos do cosmos. Por exemplo, o fato dos neutrinos terem massa pode ser visto nas anisotropias da CMB, portanto é possível que o satélite Planck forneça o primeiro valor experimental da massa dessas partículas elementares, embora para verificar isso não é necessário grande detalhe na evolução temporal da Relatividade Geral — um cálculo analítico que trata as inomogeneidades do universo como pequenas é suficiente. Todavia, há regimes — as transições de fase no universo primordial — em que as anisotropias não podem ser tratadas como pequenas perturbações no campo gravitacional e um cálculo numérico se torna útil, embora não definitivamente a única escolha (há uma outra possibilidade, o uso de métodos aproximados analíticos).

LIGO: confrontando cálculo com experimento

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Buracos negros e estrelas hiper-velozes

domingo, 1 mar 2009; \09\America/New_York\America/New_York\k 09 1 comentário

SDSS J090745.0+024507, a primeira estrela hiper-veloz, descoberta em 2005.

SDSS J090745.0+024507, a primeira estrela hiper-veloz, descoberta em 2005.

Edição 15/03: correção: o referencial adotado para medir a velocidade da estrela hiper-veloz é o Sol, não o centro da galáxia (como está dito no artigo do W. Brown).

A teoria da Relatividade Geral hoje em dia na mídia e na divulgação científica deixou de ganhar um certo status de surpreendente, que as pessoas tem concentrado muito mais na mecânica quântica. Mas a Relatividade tem suas grandes surpresas contra-intuitivas também. Um exemplo são as propriedades dos buracos negros. Você sabia, por exemplo, que é impossível destruir um buraco negro? Esse é um teorema da Relatividade, e foi demonstrado pela primeira vez por Stephen Hawking.

Há muitas evidências astronomicas dos buracos negros. Uma das mais recentes surgiu em 2005: a descoberta da primeira estrela na Via Láctea com velocidade superior a velocidade de escape da galáxia. A velocidade da bichinha é 853 km/s em relação ao Sol. Para uma comparação, a velocidade orbital do Sol ao redor do centro da galáxia é cerca de 220 km/s. Essa estrela foi descoberta por Warren Brown e colaboradores, do Centro de Astrofísica Smithsonian de Harvard.

Buracos negros são capazes de ejetar estrelas da galáxia (Figura do NY Times).

Buracos negros são capazes de ejetar estrelas da galáxia (Figura do NY Times).


A existência de estrelas com velocidades da ordem de 103 km/s foi prevista teoricamente em 1988 por Jack G. Hill, num artigo publicado na Nature. Hill observou que se existe um buraco negro no centro da nossa galáxia, então quando um binário de estrelas passa próximo do buraco negro, uma estrela do par pode ser capturada e a segunda é ejetada com enorme velocidade. Nenhum outro processo astrofísico na galáxia conhecido é capaz de produzir velocidades tão altas. É importante ressaltar que o mecanismo não funciona se o buraco negro for substituido por uma estrela de mesma massa de qualquer natureza, porque há um mecanismo de fricção devido a qualidade de fluido da estrela supermassiva que reduz drasticamente a velocidade da ejeção. A única razão pela qual buracos negros podem realizar esse mecanismo é que eles não são bolas de um fluido.

Hoje já são conhecidas cerca de 10 estrelas hiper-velozes na galáxia, a maioria graças a um continuado programa de busca de tais estrelas liderado por Brown. As observações da distribuição espacial, de velocidades e de massa dessas estrelas permite ainda discriminar detalhes do mecanismo de ejeção de buracos negros: se as estrelas foram ejetadas por um buraco negro solitário, um binário de buracos negros, ou um sistema mais complicado envolvendo um buraco negro. Ainda não há número suficiente de estrelas hiper-velozes para isso: seriam necessárias cerca de 100 para diferenciar os mecanismos.

No centro da nossa galáxia já havia evidência da existência de pelo menos um buraco negro, Sagitário A*. Observações que duraram 14 anos da posição de estrelas no centro da galáxia resultaram neste belo e impressionante vídeo. Estas observações, combinadas com a descoberta das estrelas hiper-velozes, é consistente com a idéia de que há um buraco negro no centro da galáxia e que as órbitas de Sagitário A* provavelmente não são devidas a uma bola de gás (que por algum mecanismo físico não emite luz).

Para saber mais assista a palestra do astrônomo Warren Brown, Hypervelocity Stars and Massive Black Holes no Dartmouth College, 02/06/09.

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