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Posts Tagged ‘Supercordas’

PI Summer School 2009

sexta-feira, 13 mar 2009; \11\UTC\UTC\k 11 Deixe um comentário

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Dear Colleague,

The registration is now open for the Perimeter Institute Summer School,
*“Exploring the Cosmological Frontiers”*, which will be held June 24 to July 1, 2009. This will be the seventh of an ongoing series of annual summer schools in theoretical physics. This year’s lecturers include: Neta Bahcall, Alessandra Buonanno, Paolo Creminelli, Olivier Dore, Jaume Garriga, Stephen Hawking, Jean-Luc Lehners, Avi Loeb, Leonard Susskind, Neil Turok and Neal Weiner.
Perimeter Institute Summer School 2009: Particle Physics, Cosmology & Strings: June 24 – July 1.

— End.

Nota: no site do PI, vejam os novos “Distinguished Research Chairs”… O que será que o PI está tramando? Dominar o mundo? :O

Aff… não bastava eles terem tomado uns meses do Hawking, fizeram o Turok de diretor!

Edição de fevereiro.

terça-feira, 17 fev 2009; \08\UTC\UTC\k 08 36 comentários

O título é um pedido de desculpas por ter estado tão ausente nessas ultimas semanas, mas nem sempre dá para aparecer por aqui. Então, esse vai ser um post com diversos assuntos, motivado por conversas com colegas ao longo do último mês, a maioria no orkut. Então, nessa edição temos:

  1. História da física (parte 2) – Anomalias
  2. A história do Jim Simons, Renaissance Tech e Stony Brook
  3. Partícula num aro (parte 2) – Mecânica quântica
  4. Rapid communications: pós-graduações no EUA e conferência sobre supercordas

Há algum tempo, um colega me perguntou sobre a relação de laços de Wilson e anomalias. Eu não conhecia a relação e, na verdade, ela nem chega a ser muito profunda. Em vista da oportunidade, deixa eu contar o que são anomalias de uma forma semi-técnica, aborando um pouco da história envolvida.

Tudo começou com um cálculo que foi tentado por Tomonaga onde ele calculou perturbativamente em 1 loop o propagador do fóton \langle J_{em}^{\mu} J_{em}^{\nu} \rangle. Há dois fatos experimentais inequívocos sobre o fóton (que na verdade é um só): ele não tem massa e é trasnversal, ie, há apenas dois estados de polarização. O problema dessa conta é que as quantidades definidas na ação de Maxwell, quando interpretadas quanticamente não são as quantidades medidas. São parâmetros livres, que na verdade são divergentes. As quantidades medidas dependem das interações. Quando elas são levadas em consideração, essas divergências deixam de existir e a ação quântica efetiva passa a ser função de quantidades finitas. Essa é a idéia do que se chama renormalização: em teorias renormalizáveis a ação quântica efetiva tem a mesma expressão funcional quando renormalizada ou não, mas os limites são tomados em pontos diferentes.

Bem, deixando os detalhes técnicos de lado, Tomonaga encontrou uma massa para o fóton e um estado não transveral, correções indesejadas que não podiam ser renormalizadas (Tomonaga, naquela época, usava o curioso termo “amalgamado”). Não demorou muito para as pessoas entenderem o papel das simetrias no cálculo das correções quântica. Bem, o importante para história é que essas inconsistências levou Tomonaga e seus colaboradore, Fukuda e Miyamoto a examinarem o próximo diagrama mais simples: um triângulo, ie \langle J_{\pi}J_{em} ^{\mu}J_{em}^{\nu} \rangle em 1 loop. Novamente, o resultado parecia não preservar invariância de gauge e, algo novo, o acoplamento com um pseudovetor U_{\mu} era diferente de com um pseudoescalar \partial_{\mu}U, o que é inconsistente com a equação de Dirac (na camada de massa \partial_{\mu}(\overline{\psi}\gamma_5\gamma^{\mu}\psi)=-2m\overline{\psi}\gamma_5\psi). Novamente eles perceberam que o problema estava na relação das simetrias com as integrais divergentes que apareciam durante a conta.

Esse trabalho, depois de algum tempo, chegou aos ouvido de Steinberger, em Princeton, através de Yukawa. Eles então decidiram aplicar o então recente método de Pauli-Villars para refazer as contas. E, como os leitores envovidos nessa área devem saber, o resultado foi invariante de Lorentz e invariante de gauge. Contudo, a diferença no acoplamento entre pseudoescalar e do pseudovetor continuava diferente. Em linguagem moderna: há uma anomalia quiral! Eles não sabiam muito o que fazer com esse resultado na época e a melhor sugestão no fim do artigo era esperar pela detecção experimental da reação \pi^0\rightarrow 2\gamma. Acho que poucas pessoas adotariam essa postura hoje em dia :D, mas o importante é que esse decaimento do pi-zero, na época chamado de Neutretto, de fato existe.

O problema, claro, não é simples e demorou até 1951 para Schwinger publicar uma nova forma de ataque ao problema. Num artigo que considero muito bonito “On Gauge Invariance and Vaccum Polarization”, Schwinger notou pela primeira vez com clareza que era necessário que os métodos de resolução das funções de Green fossem a todo instante invariantes de Gauge para que o resultado também fosse. Ele mostrou que a auto-energia do fóton, de fato, cancela na camada de massa e tudo parecia feliz. Mas ele também encontrou que o acoplamento para o pseudovetor e o pseudoescalar eram iguais. Um resultado que parece contrariar a existência de uma anomalia quiral. Schwinger justamente introduzia linhas de Wilson para fazer um “point-spliting” da corrente divergente. Vou deixar comentários extras para o final.

Mas outros muitos anos se passaram, e apesar dos problemas, as pessoas continuaram a usar teorias quânticas de campos para descrever a fenomenologia das interações fracas, que era o assunto quente da época. Em 1963, Rosenfeld, estudando a propriedade dos neutrinos na teoria V-A esbarrou no mesmo problema do diagrama triagular e fazendo a conta de forma a manter a invariância de gauge, ele calculou pela primeira vez a expressão da anomalia quiral, mas não deu prosseguimento à análise do resultado. Nessa época, teorias quânticas de campos não estavam muito em alta. Existiam outras teorias com pretensão de substituí-la, como a teoria de Regge e o programa da matriz-S. Existiam também teorias que pretendiam descrever teoria quântica de campos de uma forma não-perturbativa, como a teoria de álgebras de correntes.

Foi meio natural que as pessoas que trabalhavam com álgebras de correntes tentassem verificar seus resultados perturbativamente com TQC, e várias dessas pessoas deram contribuições determinantes para a criação das teorias modernas de gauge. Em particular, Gell-Mann e Levy, na década de 60, escreveram um artigo analisando as “PCAC” (putz… nem interessa! :roll:, na prática quero dizer \partial_{\mu}j_5^{\mu}=f_{\pi}m_{\pi}^2\pi(x) ) num modelo sigma linear. Na teoria quântica de campos que eles montaram, essa relação era realizada classicamente. É modelinho muito interessante com simetria SO(4) e quebrada espontaneamente. Esse trabalho se tornou uma leitura obrigatória em vários dos centros importantes de teoria quântica de campos na época. Em Stony Brook, B. Lee começou a estudar a renormalização dessa teoria e escreveu um pequeno livro influente sobre o assunto. Um aluno de doutorado de Utretch, G. ‘t Hooft, conheceu Lee na escola de verão de Carsège e resolveu aplicar os métodos para teorias de gauge. Deu no que deu. 😈

Depois disso, não demorou muito para Adler e, indendentemente, Bell e Jackiw entenderem a origem das anomalias como simetrias da ação clássica que não existem na ação efetiva quântica e escrevê-la como é conhecida hoje em dia. Vale notar no artigo do Bell e Jackiw, durante a batalha para entender quando a anomalia aparecia ou não nas contas, o seguinte comentário que vai no coração da questão:

Since the integral is linearly divergent a shift of variable picks up a surface term.

🙂 Que seja. Essa história, claro, não termina por aqui e tem muito mais coisa interessante. Mas fica para outro dia.

Antes de terminar, deixa eu só fazer um comentário sobre a conta do Schwinger. Eu acho que quem entendeu o que estava acontecendo foi o Adler. Schwinger, na sua ânsia justificada de preservar a invariância de gauge, considerava apenas derivadas covariantes na equação de conservação da corrente. Isso gera um termo extra igual a menos a anomalia. Ele também regularizava a corrente usando laços de Wilson, o que, naturalmente, preserva a invariância de gauge e introduz um termo igual a mais a anomalia. E assim, ambos se cancelam. Acontece.


Semana passada, o Jim Simons veio aqui na universidade conversar com os alunos durante o colóquio. Claro que colóquio com o Jim Simons não fica limitado aos alunos, mas lota o auditório. Foi razoavelmente interessante, ele contou sobre sua trajetória. Posso reproduzir um pouco do que ouvi e do que minha memória não fez questão de perder. Eu sei que tem leitores e editores aqui diretamente interessados em análise do mercado financeiro e, se infelizmente não posso dar muitos dados técnicos, pelo menos poderei contar uma história de sucesso.

O colóquio, que foi atípico, teve o título oficial de “Matemática, Bom Senso e Boa Sorte”. Para quem não sabe, O Jim Simons foi diretor do Instituto de Matemática de Stony Brook na década de 60, quando ele ainda não era o 178-ésimo homem mais rico do mundo. Ele hoje é dono da Renaissence Technologies, um fundo de investimento muito bem sucedido. Simons, que é o mesmo das “formas (teoria) de Chern-Simons”, nunca se afastou da universidade e investe muito dinheiro aqui. Ele, há alguns anos, quando o DOE resolveu cortar fundos dos laboratórios nacionais, manteve o BNL funcionando com dinheiro do seu bolso. Recentemente, ele doou quase 100 milhões para a construção do Simons Center for Geometry and Physics:

Simons Center for Geometry and Physics

Durante o colóquio ele anunciou mais uma doação de 20 milhões para o departamento de física. Isso só para citar as grandes doações. O Simons também mantém diversos programas aqui dentro, como um centro de formação em física de aceleradores, um programa para jovens do ensino médio em física de laser, entre outras coisas. O Brasil tem várias pessoas acima dele na lista da Forbes: o Antônio Ermírio de Moraes, Joseph Safra, o Eike Batista e o Jorge Paulo Lemann. O Safra recentemente fez algo semelhante com o IINN que já foi citado várias vezes aqui no blog. O Lemann também mantém programas de colaboração entre o Brasil e a universidade de Harvard, que se não é ideal, pelo menos é bom (ele doou um dinheiro para construção, em SP, de um escritório para organizar essas colaborações). Os demais, eu não sei estão associados à algum projeto desse porte. Mas se não estão, deveriam.

A parte matemática do título é então antiga. Naquela época, Simons era um recém doutor em matemática com um emprego em Princeton cuja carga horária deveria ser dividida metade para matemática e a outra metade para decifrar códigos da Guerra Fria. Só que um dia ele resolveu dar uma declaração para um jornalista dizendo que ele estava usando todas as metades da matemática agora e que só depois iria usar a metade para decifração de códigos de guerra. Bem, não é preciso muita imaginação para saber o que aconteceu com ele no mesmo dia. Despedido de Princeton, ele foi contratado para ser diretor (e efetivamente montar) o recém criado Insituto de Matemática de Stony Brook, um emprego que, para ser sincero, ninguém queria. Ele topou e começou um grupo que deu grandes frutos. Hoje, o programa de pós-graduação de Stony Brook normalmente aparece entre os top 5 do país. Durante sua estada aqui como diretor ele também manteve colaboração com o Yang no Instituto de Física. Os dois foram dos principais responsáveis por criar a ponte entre a física e a matemática das teorias de gauge (conexões de fibrados).

Agora vem a parte boa sorte. Naquela época, Simons investiu dinheiro com um amigo que trabalhava com câmbio e, por sorte, ganhou uma bolada de alguns milhões. E milhões de dólares naquela época era muito mais do que hoje. Milionário de uma hora para outra, ele resolveu mudar de direção na vida. Se esse colega dele podia ganhar dinheiro, ele também poderia. Matemático que era, ele e um outro professor daqui de Stony Brook começaram a tentar criar modelos para investir em câmbio. A realidade é que não deu muito certo, mas Simons conta que naquela época era tão fácil ganhar dinheiro, que ele rapidamente multiplicou seu dinheiro por um fator de 10 (e ele conta que isso nem chegou a impressionar muita gente).

Bom senso é a última parte. A década de 80 veio e ganhar dinheiro ficou um pouco mais difícil. Nesse ponto, ele decidiu novamente investir somente na construção de modelos. Com a ajuda de outro matemático (que me esqueci o nome, acho que ele não está mais na Renaissance Tech, parece que ele não conseguia trabalhar muito bem em equipe), ele abandonou completamente o tipo de investimento que fazia antes para só fazer investimentos baseados nos resultados desses modelos de mercado. Dessa vez deu certo. Hoje em dia, a Renaissance Tech conta com uma equipe composta basicamente de Ph.D.s e se orgulha de ter, mantidas as devidas proporções, um ambiente de trabalho acadêmico num fundo de investimento. Nem todos matemáticos, claro. Parece que hoje em dia há muito cientista da computação, já que além de criar modelos eles tem que lidar com a análise de 3 TB de dados por dia e tomar as decisões antes dos concorrentes. Se há alguma diferença do meio acadêmico real é que o resultado das suas idéias está alí, na sua frente, tudo reduzido a quanto dinheiro você ganhou ou perdeu.

No que volta à matemática. Simons recentemente voltou a trabalhar com matemática. Ele certamente é o aluno mais rico do mundo nessa área :P. E está trabalhando ativamente com o Dennis Sullivan, aqui mesmo em Stony Brook. Interessante, não?


Há algum tempo atrás, eu e Leandro escrevemos sobre a mecânica clássica de uma partícula num aro e como se pode aprender bastante sobre física com esse modelo simples. O post teve uma repercussão ótima e me motiva a fazer uma segunda parte. Vamos agora estudar a mecânica quântica de uma partícula no aro e vamos ver que podemos aprender também uma miríade de coisas através de analogias. Esse post vai ser um pouco mais alto nível, mas com certeza tem seu público.

Vou começar com uma lagrangeana bem geral:

L=\frac{M}{2}\dot{\phi}^2+A\dot{\phi}

Note que o segundo termo, sendo uma derivada total não influencia a equação de movimento que é simplesmente M\ddot{\phi}=0, onde M é o momento de inércia e \phi é uma variável angular.

Duas coisas devem ser notadas, para um determinado tempo inicial e final, há infinitas soluções para as equações de movimento, classificadas por um número inteiro (o número de voltas que ela dá no círculo). Isso é uma consequência da topologia não-trivial, ou mais especificamente, do grupo fundamental não-trivial, do círculo. Esse é o tópico que quero falar.

Além disso note que apesar de não mudar as equações de movimento, o momento canônico e a hamiltiana se alteram:

p =m\dot{\phi}+A;\qquad H=\frac{1}{2M}(p-A)^2

e é por isso que a mecânica quântica desse exemplo é tão bacana. Quantizar o sistema corresponde a tornar \phi,p operadores num espaço de Hilbert tal que [\phi, p]=i. O estado da partícula será então descrito por uma função de onda que obedece à equação de Schrödinger H\psi=E\psi. Para p ser uma quantidade mensurável, é necessário que ele seja auto-adjunto. Certamente, se escolhermos uma representação em que p=-i\partial_{\phi} ele será hermitiano. Porém, para ser auto-adjunto ele temos que definir condições de contorno do tipo \psi(\phi+2\pi)=e^{i\xi}\psi(\phi) onde diferentes escolhas de \xi correspondem à situações físicas distintas que pode, em princípio, serem diferenciadas por experiências de espalhamento. Vale a pena fazer a conta da matriz-S para verificar isso por si próprio, é supreendente a importância das condições de contorno.

Vamos começar com o caso \xi=0. A solução do espectro nesse caso é simples:

\psi_m=e^{im\phi};\qquad E_m=\frac{1}{2M}(m-A)^2;\qquad m\in\mathbb{Z}

Se você conhece o efeito Aharanov-Bohm, vai notar que A nada mais é que um fluxo magnético de valor \theta=2\pi A. Inclusive, fazendo conexão como tópico anterior, acho que as primeiras pessoas a notarem a hoje óbvia descrição desse efeito através da holonomias de conexões em fibrados foi justamente Yang e Simons. Mas voltando, note que a ação correspondente a A será:

S_{top}=\int_{t_1}^{t_2}A\dot{\phi}=\theta\frac{\Delta\phi}{2\pi}

que só depende das posições iniciais e finais. Essa ação também conta quantas vezes a partícula deu a volta no círculo. Como é comum escrever \theta para o fluxo magnético, esse tipo de termo ficou conhecido como termo \theta, sobre o qual já falei várias vezes aqui.

Note ainda que \theta múltiplo de 2\pi não afeta o espectro e que para \theta múltiplo ímpar de \pi, o espectro é simétrico por paridade.

Uma pessoa mais ousada arriscaria dizer: “Esse termo A eu tiro com uma transformação de gauge (classicamente: trasnformação canônica) da solução”. Você pode até tentar, só que aí suas condições de contorno vão corresponder a \xi=-\theta que, como eu argumentei, é fisicamente distinta.

Um outro método de quantização é o de integral de trajetórias. Nesse caso, a ação do termo topológico fatora e a função partição euclidiana fica escrita como:

Z=\sum_{Q=-\infty}^{\infty}e^{i\theta Q}\int_{\phi(0)-\phi(T)=2\pi Q}\mathcal{D}\phi\,e^{-\int_0^T d\tau M\dot{\phi}^2/2}

para baixas temperaturas (ie, longos tempos euclidianos), só o estado de menor energia importa. Se considerarmos M\rightarrow 0, o estado de menor energia fica duplamente degenerado e esse estado passa a ser igual a uma partícula de spin 1/2. Não estou dizendo que essa é a origem do spin, não há nenhuma simetria SU(2) nesse problema, mas um modelo parecido com esse pode e é utilizado como uma teoria efetiva para (quasi-)partículas de spin 1/2 e, além disso, partículas de spin 1/2 são fermions e a origem das duas possíveis estatísticas em 3 dimensões – férmions e bósons – tem tudo a ver com esse tipo de análise topológica.

Termos \theta se multiplicam na física e eu acho que esse pequeno exemplo deu para ilustrar várias de suas características:

  • Realiza representações irredutíveis unitárias do grupo fundamental do espaço-alvo. Bem, não discuti isso, mas é por isso que o termo se chama topológico;
  • Responsável pela interferência quântica entre setores toplógicos. Note que quando escrevi a função partição após rotação de Wick (supondo que ela seja possível), a única superposição quântica residual é devido ao termo topológico;
  • Não afeta as equações de movimento;
  • Muda as condições de quantização do espectro quântico;
  • É um termo periódico, não quantizado contudo;
  • \theta=0,\pi possuem simetrias adicionais;
  • \theta=\pi implica em degenerescência do espectro;
  • Equivalente a uma mudança nas condições de contorno.

Claro que esse não é o único termo topológico possível. Para fazer conexão agora com o primeiro tópico que eu escrevi, no estudo de anomalias é bem relevante a ação de Wess-Zumino-Witten (é o termo de anomalia integrado), que também é um termo topológico. Há muitos outros, mas eles ficam para outra chance. (Se eu for cumprir todas essas continuações, não trabalho mais :P)


Ping-pong rápido:

  1. Eu, quando estava aplicando para os EUA, juntei nessa comunidade do orkut:

    GRE – Física (orkut)

    muita informação sobre o processo de vir estudar aqui com o intuito de ajudar as pessoas que querem mas não encontram ajuda, como foi meu caso. A realidade é que poucos alunos de física no Brasil tentam vir para os EUA. Acho que muitos não tentam não é porque não querem, mas porque não tem informações suficientes. Infelizmente, muita informação que estava na comunidade foi perdida ou está desatualizada. Mais do que isso, os mesmos motivos que estão fazendo a gente se mudar do orkut para o BC e para o AP, estão me motivando, junto com um colega brasileiro que também é doutorando aqui em Stony Brook, a criar um fonte mais acessível para essas informações. Manterei vocês atualizados. No entanto, eu sei que alguns colegas e leitores daqui estudam no exterior e, então, eu “convoco” vocês a divulgar mais as informações, de forma organizada, como é o processo de aplicação para ajudar as pessoas mais novas e incentivá-las a ir atrás de uma boa formação profissional.

  2. Está acontecendo no KITP/UCSB uma conferência sobre supercordas com vários cursos bacanas de coisas realmente modernas e atualizadas nessa área.

    Para quem quiser ver as palestras: Fundamental Aspects of Superstring Theory

    É uma conferência longa com várias palestras didáticas. Além disso, ela está comemorando o octagésimo aniversário do Stanley Mandelstam que teve um papel proeminente para o desenvolvimento dos primórdios dessa teoria.

Até a próxima.

Comparando transições de fase em TQC e sistemas estatísticos

terça-feira, 28 out 2008; \44\UTC\UTC\k 44 7 comentários

Não tem um seminário de altas energias que você vai que não se fale em fases de uma teoria quântica de campos. E nem mais só nos de teoria. Depois que pessoal de física nuclear começou a fazer experimentos de colisão de íons então tudo que se houve, mesmo nos seminários mais “aplicados”, é sobre fases de teoria quântica de campos.

Eu não vou negar que acho o assunto interessante, mas mal consigo entender o que é essa fase. Fases, nesse sentido, são bem entendidas em sistemas estatísticos. Quando atingimos o limite termodinâmico, o espaço de fase do sistema se divide em regiões em que os microestados podem ficar um tempo indeterminado: são as fases ergódicas da teoria. Em cada uma dessas regiões, o potencial termodinâmico é uma função analítica das suas variáveis. Uma descrição interessante de como acontece a transição de fase foi desenvolvida por Yang e diz respeito aos zeros da função partição. Num sistema finito, esses zeros estão sempre fora do eixo real, só que quando vamos atingindo o limite termodinâmico, os zeros podem ir se condensando em torno do eixo real e se você conseguir mostrar que no limite eles tocam no eixo, eis sua transição de fase. Para quem quiser ler:

Yang, Lee. Statistical Theory of Equations of State and Phase Transition, PR 87, pg 404-419 (partes I e II)

Em alguns sistemas que são completamente integráveis dá para ver isso acontecendo, em particular, um caso que todo mundo estuda é o modelo de Ising… impressiona qualquer aluno (ou pelo menos me impressionou).

Aí a gente se pergunta: o que teorias quânticas de campos tem a ver com isso? Bem, TQC também tem uma função partição parecida com sistemas estatísticos e nada te impede de procurar os zeros dela. Tem gente que faz isso. Pode-se inclusive perfeitamente pensar em estudos numéricos. Estudo numérico aqui pode significar séries perturbativas, mas esse tipo de estudo é complicado para transições de fase, porque você nunca pode chegar no ponto da transição. Sobre estudos numéricos, tem algumas vantagens para TQC e tem algumas vantagens para sistemas estatísticos: as séries perturbativas em sistemas estatísticos costumam convergir, as de TQC não. Por outro lado, sistemas estatísticos não admitem o mesmo tipo de expansão “de alta temperatura” que os de TQC (fora os sistemas definidos em redes, como o de Ising, por sinal). Os potenciais realísticos de sistemas estatísticos não tem nem transformada de Fourier. O que é comum fazer em sistema estatístico é estudar expansões na “densidade” (como as séries do virial e de Mayer).

E aí eu chego na questão, sobre a qual nada sei, mas que acho interessante: quais são os microestados de uma teoria quântica de campos? Isso não é conhecimento de “curso” de TQC. Se há uma fase é de se esperar que haja microestados. Acho que a forma tradicional de ver isso é considerar que o “lugar natural” de uma TQC é numa rede (lattice QFT) e daí tomar um limite termodinâmico no mesmo estilo de sistemas estatísticos. Não sei se isso é tão natural para mim, fiz poucas coisa de lattice QFT na minha vida até hoje e talvez seja simplesmente falta de conhecimento.

Você também ouve por aí pessoas falando que o microestado dos campos quânticos seriam as supercordas. Eu também não sei como entender essa frase (mas se alguém souber e quiser me explicar nos comentários eu agradeço). Eu sei que a teoria de supercordas eluciodou, por exemplo, os estados microscópicos da gravitação, como no caso do entropia do buraco negro calculada por Strominger e Vafa (e as diversas correções que as pessoas já calcularam depois deles). É também verdade que o mesmo sistema que é fonte de campo gravitacional é fonte de campos de gauge em outro limite da teoria, e desse estudo que nasceu a famosa conjectura AdS/CFT. Mas eu não sei se é nesse sentido que as pessoas falam.

Bem, é um post com mais “não sei” do que sei. Espero que no futuro eu possa rir dele. 😛

Dualidades – Parte 2 (Supersimetria)

segunda-feira, 20 out 2008; \43\UTC\UTC\k 43 1 comentário

Vamos continuar com minha tentativa, que ser tornará cada vez mais impossível, de fazer essa introdução sobre dualidades em forma de divulgação científica.


 

Na última vez falamos sobre monopolos magnéticos e seu papel em teorias duais. Chegamos a uma teoria que tem um monopolo bem comportado, a teoria de Yang-Mills-Higgs, mas fechamos o post com dois problemas: as correções quânticas ao limite BPS e o erro do spin. Vamos tentar consentar isso.

Primeiro, vamos discutir sobre uma extensão da proposta de dualidade. Nós vimos que a dualidade eletromagnética é como se fosse uma raiz quadrada da simetria de conjugação de carga. No entanto, isso pode ser estendido se introduzirmos um termo na teoria de Yang-Mills-Higgs chamado termo-\theta. Não há nada que impeça a introdução desse termo: ele não quebra nenhuma simetria nem torna a teoria mal definida. Ele é o responsável pela quebra da simetria CP, assunto que foi prêmio Nobel esse ano. O fato desse termo ser muito pequeno é um problema em aberto na nossa compreensão do modelo padrão das partículas fundamentais, chamado problema de CP forte. Apesar de muito pequeno, esse termo é interessante porque ele parametriza os vácuos da teoria de Yang-Mills-Higgs. O vácuo da teoria de YMH é algo bem complexo e uma das entidades mais estudadas em física teórica. Esse termo mistura diversos desses vácuos através de tunelamentos quânticos por ínstantons. Quando se leva em consideração a física dos ínstantons, percebe-se que esse termo \theta é periódico. Quando se junta essa periodicidade à dualidade eletromagnética, a simetria fica estendida a um grupo que é conhecido na matemática como SL(2,Z). Esse grupo vive aparecendo na matemática quando se estuda números complexos e no youtube tem um vídeo bonito sobre elas:

No que se refere aos monopolos magnéticos esse termo resulta em duas mudanças. Primeiro, ele muda as cargas magnéticas e elétricas, o que é conhecido como efeito Witten. Além disso, esse grupo, diferentemente da dualidade eletromagnética usual, é de ordem infinita. Isso quer dizer que em vez de só trocar monopolos por bósons vetoriais, podemos aplicar ele infintas vezes gerando cada vez estados novos, chamados dyons, porque eles vão ter carga elétrica e magnética. O argumento de Sen, que falei no post anterior, diz respeito justamente ao espectro desses dyons.

Esse grupo também aparece como simetrias de teorias definas num toróide. Isso é bem importante em teoria de supercordas quando se calcula amplitudes de espalhamentos. Podemos importar essa idéia e imaginar que a teoria com monopolos é uma teoria numa dimensão superior, onde essa simetria do toróide é manifesta. Essa discussão pode ser levada adiante e ela desemboca nas dualidades em teoria de supercordas e teoria M onde há naturalmente uma dualidade SL(2,Z), mas isso fica para outro post (até porque eu teria que estudar mais para contar a história decentemente). Vamos, por enquanto, ficar só com a idéia de que podemos começar a escrever a teoria numa dimensão superior e ver seu efeito em quatro dimensões.

Vou fazer uma pausa nessa idéia de dimensões superiores e discutir uma outra idéia que é objeto de muitos estudos em física teórica: supersimetria. A supersimetria é uma simetria proposta que resulta na existência de um parceiro para cada partícula existente. Esses parceiros supersimétricos nunca foram observados, mas há muito gente procurando e vai ter muito mais quando o LHC começar a funcionar definitivamente. Esses parceiros são desejáveis porque eles cancelam quase todas as correções quânticas das partículas usuais. Isso cancela divergências que, de outra forma, tornariam teorias quânticas mais difíceis de serem bem definidas. Num nível não perturbativo, nem todas as correções se cancelam, mas até isso é interessante. A idéia é que talvez a supersimetria proteja o limite de BPS fazendo com que ele seja exato inclusive na teoria quântica, possibilitando uma teoria quântica com dualidade eletromagnética.

Quando temos uma teoria supersimétrica, não é mais exatamente correto falar em partículas. Mas sim no multipleto contendo a partícula e seu parceiro supersimétrico. Podemos imaginar inclusive teorias com multipletos bem grandes onde não há apenas duas partículas que sejam parceiros mas mais partículas. Isso chama-se supersimetria extendida. Há várias formas de se estender consistentemente esse multipleto. A forma mais econômica, ie, com o menos número de parceiros, é quando as massas obedecem uma igualdade que tem exatamente a mesma forma do limite BPS. Hum…. só que em vez de cargas magnéticas temos agora objetos topológicos escritos em termos das condições de contorno dos campos. Se você se lembrar da discussão sobre monopolos de Dirac, você vai ver que isso é uma excelente idéia, pois desde o início, a carga magnética era um objeto topológico. Mas mais do que isso, sendo essa uma propriedade da supersimetria, ela é válida inclusive na teoria quântica.*

Vamos agora juntar as duas idéias: começemos com uma teoria supersimétrica numa dimensão superior e reduzamos às nossas quatro dimensões. Por exemplo, se começarmos com uma teoria supersimétrica de Yang-Mills em seis dimensões, obtemos uma teoria de Yang-Mills-Higgs em quatro dimensões com supersimetria extendida (dobrada, o que é chamado \mathcal{N}=2). Essa teoria tem então monopolos magnéticos! Mais do que isso, podemos mostrar que a lei e conservação topológica que falei anteriormente é exatamente o limite BPS. 🙂 Fantástico. Essa idéia pode ser aplicada em diversas situações, inclusive em sistemas mais simples na mecânica quântica tradicional. Vale a pena dar uma lida:

Supersymmetry algebras that include topological charges. D Olive, E Witten – Phys. Lett. B, 1978

Perceba que um dos problemas que tínhamos no início do post foi resolvido. O outro persiste porque, ao se estudar detalhadamente o multipleto supersimétrico, percebe-se que o monopolo e o bóson vetorial ainda vão ter spins diferentes. Isso não tira o interesse na teoria. Muito pelo contrário, essa teoria tem várias surpresas que foram descobertas por Witten e Seiberg (um review pedagógico: L Alvarez-Gaume, SF Hassan – Arxiv preprint hep-th/9701069, e certamente eu vou fazer um post sobre essas teorias mais detalhado no futuro).

Como resolver o segundo problema? Se fomos até seis dimensões, por que não continuar? Se usarmos a mesma idéia de começar com a teoria de Yang-Mills supersimétrica em dez dimensões e olharmos para a teoria de Yang-Mills-Higgs que ela implica em quatro, veremos que o monopolo e o bóson vetorial agora tem o mesmo spin, ambos dentro de um multipleto extendido \mathcal{N}=4. Isso é muito interessante, não só pelo resultado, mas porque essa teoria de SYM em dez dimensões é o limite de interações fracas da teoria de supercordas! Veja como a teoria de supercordas vive reaparecendo. A teoria de supercordas, mesmo que ela não seja a teoria final, tem um papel explicador tão grande que é difícil levar a sério as pessoas que dizem que ela está errada. Nos próximos posts vamos explorar mais essa teoria e ver o que ela nos ensina sobre dualidades eletromagnéticas.


Referências:

Notas:
* (Edit: 20/10/08) Ok, eu não estou sendo completamente sincero aqui, até porque a teoria não é completamente supersimétrica: o vácuo de monopolo só preserva metade das supersimetrias. O limite BPS nesses modelos é uma igualdade entre uma massa e uma quantidade topológica. O problema é que essa teoria é interagente, então a massa recebe correções quânticas dos campos massivos. Só que esses campos massivos vão a zero no infinito, como já sabíamos desde o trabalho de Yukawa, e então eles não podem introduzir correções quânticas nas cargas topológicas (condições de contorno da teoria). No entanto, há uma correção, que vem de uma anomalia. Agora, explicar isso nos levaria mais adiante do que eu gostaria… veja o artigo do Witten e Olive para ver que, mesmo pessoas muito inteligentes não perceberam isso de primeira.

Eu acho que, para o propósito desses posts, vale mais a pena pegar a idéia de que sob uma dualidade eletromagnética leis de conservação de Nöther, ie. aquelas que só são válidas quando as equações de movimento são obedecidas, são trocadas por leis de conservação topológicas. E vice-versa.

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