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Posts Tagged ‘Supersimetria’

Dualidades – Parte 3 (Muitas supersimetrias)

segunda-feira, 10 nov 2008; \46\America/New_York\America/New_York\k 46 1 comentário

Queria apenas fazer um rápido post de encerramento da série tentando dar mais detalhes do porque a teoria de Super-Yang-Mills com supersimetria \mathcal{N}=4 é uma séria candidata a apresentar dualidade eletromagnética. O primeiro argumento vem do spin. Em \mathcal{N}=4 só existe um multipleto com partículas de spin menor ou igual a 1. Então, não tem como o monopolo e o bóson vetorial serem membros de multipletos de spin diferente. Fazendo uma contagem dos modos zero dos férmions dessa teoria (e existem resultados matemáticos em forma de teoremas de índice para isso), você pode chegar na mesma conclusão.

Claro que só isso não basta para concluirmos que há dualidade. No entanto, a presença de um monte de cargas de supersimetria também faz a teoria muito paupável. Em particular, assumindo que o bóson vetorial exista mesmo na teoria fortemente acoplada, deverá existir dyons na teoria fracamente acoplada frutos da aplicação do grupo SL(2,Z) da dualidade. A estrutura desse grupo (basicamente o fato do determinante ser 1 o que implica que a carga elétrica e magnética são coprimos) faz com que esses dyons sejam estáveis e não decaiam em partículas de cargas mais fundamentais.

Como esses dyons estão na teoria fraca, deveria ser possível encontrá-los semiclassicamente como uma perturbação andando sobre o vácuo de monopolo. É como fazer uma mecânica quântica para uma partícula que anda nas direções do vácuo em que não se gasta energia. Essas direções são chamadas espaço de módulo do vácuo. A supersimetria também restringe bastante a forma desse espaço de módulos. Encontrar o espaço de módulo para o vácuo com carga magnética 1 é simples. Ele é basicamente dado pelo movimento do centro de massa dos dyons e pela energia associada às suas carga elétrica. Esse espaço não é muito interessante, porque a restrição vinda de SL(2,Z) não significa muita coisa aqui, já que qualquer número é coprimo a 1.

Achar o espaço de vácuos para carga magnética 2 não é tão fácil e ele foi encontrado por Atiyah e Hitchin. Por sinal, na página do Hitchin tem um videozinho interessante mostrando como monopolos interagem:

Monopoles in motion

Como todos os outros espaços de módulos de monopolos em teorias supersimétricas, o de carga magnética 2 tem uma estrutura geométrica bem rígida chama Hyper-Kähler e nesse caso ele é assintoticamente uma métrica de Taub-NUT com sinal do termo de massa invertido. É óbvio que, a não ser que você realmente já conheça esse assunto, esses nomes não significam nada. Mas olhando para a cara dessa métrica é fácil reconhecer os termos de interação por trocas de fótons, por troca de dílatons e a energia associada à carga elétrica. Essa análise da métrica assintótica do espaço de módulos é devida a Manton. Por curiosidade, se os dois monopolos bem distantes estiverem parados, a força dos fótons cancela exatamente a dos dílatons.

No caso do vácuo de monopolo com carga magnética dois, a condição de SL(2,Z) diz alguma coisa não-trivial pois apenas números ímpares são coprimos a 2, então só teremos dyons com cargas elétricas ímpares (a menos do efeito Witten). Fazendo uma análise cuidadosa dos estados ligados existentes nessa mecânica quântica supersimétrica sobre esse espaço de módulos específico, Sen conseguiu mostrar que esses são exatemante os dyons que existem, o que é uma indicação poderosa da dualidade. Esses estados ligados dyônicos não existiriam com menos supersimetria, quando o monopolo tem spin diferente do bóson vetorial. É de se imaginar que forças de longo alcance como spin-spin e spin-órbita tenham um papel importante nessa análise.

Bem, isso mais ou menos completa a primeira parte da história. Tem duas direções que me interessam estudar e discutir aqui: ou teorias com \mathcal{N}=2 seguindo a análise de Seiberg e Witten ou entender como essas dualidades estão relacionadas à teoria de supercordas. Eu acho que dá até para fazer os dois juntos. 😛

Dualidades – Parte 2 (Supersimetria)

segunda-feira, 20 out 2008; \43\America/New_York\America/New_York\k 43 2 comentários

Vamos continuar com minha tentativa, que ser tornará cada vez mais impossível, de fazer essa introdução sobre dualidades em forma de divulgação científica.


 

Na última vez falamos sobre monopolos magnéticos e seu papel em teorias duais. Chegamos a uma teoria que tem um monopolo bem comportado, a teoria de Yang-Mills-Higgs, mas fechamos o post com dois problemas: as correções quânticas ao limite BPS e o erro do spin. Vamos tentar consentar isso.

Primeiro, vamos discutir sobre uma extensão da proposta de dualidade. Nós vimos que a dualidade eletromagnética é como se fosse uma raiz quadrada da simetria de conjugação de carga. No entanto, isso pode ser estendido se introduzirmos um termo na teoria de Yang-Mills-Higgs chamado termo-\theta. Não há nada que impeça a introdução desse termo: ele não quebra nenhuma simetria nem torna a teoria mal definida. Ele é o responsável pela quebra da simetria CP, assunto que foi prêmio Nobel esse ano. O fato desse termo ser muito pequeno é um problema em aberto na nossa compreensão do modelo padrão das partículas fundamentais, chamado problema de CP forte. Apesar de muito pequeno, esse termo é interessante porque ele parametriza os vácuos da teoria de Yang-Mills-Higgs. O vácuo da teoria de YMH é algo bem complexo e uma das entidades mais estudadas em física teórica. Esse termo mistura diversos desses vácuos através de tunelamentos quânticos por ínstantons. Quando se leva em consideração a física dos ínstantons, percebe-se que esse termo \theta é periódico. Quando se junta essa periodicidade à dualidade eletromagnética, a simetria fica estendida a um grupo que é conhecido na matemática como SL(2,Z). Esse grupo vive aparecendo na matemática quando se estuda números complexos e no youtube tem um vídeo bonito sobre elas:

No que se refere aos monopolos magnéticos esse termo resulta em duas mudanças. Primeiro, ele muda as cargas magnéticas e elétricas, o que é conhecido como efeito Witten. Além disso, esse grupo, diferentemente da dualidade eletromagnética usual, é de ordem infinita. Isso quer dizer que em vez de só trocar monopolos por bósons vetoriais, podemos aplicar ele infintas vezes gerando cada vez estados novos, chamados dyons, porque eles vão ter carga elétrica e magnética. O argumento de Sen, que falei no post anterior, diz respeito justamente ao espectro desses dyons.

Esse grupo também aparece como simetrias de teorias definas num toróide. Isso é bem importante em teoria de supercordas quando se calcula amplitudes de espalhamentos. Podemos importar essa idéia e imaginar que a teoria com monopolos é uma teoria numa dimensão superior, onde essa simetria do toróide é manifesta. Essa discussão pode ser levada adiante e ela desemboca nas dualidades em teoria de supercordas e teoria M onde há naturalmente uma dualidade SL(2,Z), mas isso fica para outro post (até porque eu teria que estudar mais para contar a história decentemente). Vamos, por enquanto, ficar só com a idéia de que podemos começar a escrever a teoria numa dimensão superior e ver seu efeito em quatro dimensões.

Vou fazer uma pausa nessa idéia de dimensões superiores e discutir uma outra idéia que é objeto de muitos estudos em física teórica: supersimetria. A supersimetria é uma simetria proposta que resulta na existência de um parceiro para cada partícula existente. Esses parceiros supersimétricos nunca foram observados, mas há muito gente procurando e vai ter muito mais quando o LHC começar a funcionar definitivamente. Esses parceiros são desejáveis porque eles cancelam quase todas as correções quânticas das partículas usuais. Isso cancela divergências que, de outra forma, tornariam teorias quânticas mais difíceis de serem bem definidas. Num nível não perturbativo, nem todas as correções se cancelam, mas até isso é interessante. A idéia é que talvez a supersimetria proteja o limite de BPS fazendo com que ele seja exato inclusive na teoria quântica, possibilitando uma teoria quântica com dualidade eletromagnética.

Quando temos uma teoria supersimétrica, não é mais exatamente correto falar em partículas. Mas sim no multipleto contendo a partícula e seu parceiro supersimétrico. Podemos imaginar inclusive teorias com multipletos bem grandes onde não há apenas duas partículas que sejam parceiros mas mais partículas. Isso chama-se supersimetria extendida. Há várias formas de se estender consistentemente esse multipleto. A forma mais econômica, ie, com o menos número de parceiros, é quando as massas obedecem uma igualdade que tem exatamente a mesma forma do limite BPS. Hum…. só que em vez de cargas magnéticas temos agora objetos topológicos escritos em termos das condições de contorno dos campos. Se você se lembrar da discussão sobre monopolos de Dirac, você vai ver que isso é uma excelente idéia, pois desde o início, a carga magnética era um objeto topológico. Mas mais do que isso, sendo essa uma propriedade da supersimetria, ela é válida inclusive na teoria quântica.*

Vamos agora juntar as duas idéias: começemos com uma teoria supersimétrica numa dimensão superior e reduzamos às nossas quatro dimensões. Por exemplo, se começarmos com uma teoria supersimétrica de Yang-Mills em seis dimensões, obtemos uma teoria de Yang-Mills-Higgs em quatro dimensões com supersimetria extendida (dobrada, o que é chamado \mathcal{N}=2). Essa teoria tem então monopolos magnéticos! Mais do que isso, podemos mostrar que a lei e conservação topológica que falei anteriormente é exatamente o limite BPS. 🙂 Fantástico. Essa idéia pode ser aplicada em diversas situações, inclusive em sistemas mais simples na mecânica quântica tradicional. Vale a pena dar uma lida:

Supersymmetry algebras that include topological charges. D Olive, E Witten – Phys. Lett. B, 1978

Perceba que um dos problemas que tínhamos no início do post foi resolvido. O outro persiste porque, ao se estudar detalhadamente o multipleto supersimétrico, percebe-se que o monopolo e o bóson vetorial ainda vão ter spins diferentes. Isso não tira o interesse na teoria. Muito pelo contrário, essa teoria tem várias surpresas que foram descobertas por Witten e Seiberg (um review pedagógico: L Alvarez-Gaume, SF Hassan – Arxiv preprint hep-th/9701069, e certamente eu vou fazer um post sobre essas teorias mais detalhado no futuro).

Como resolver o segundo problema? Se fomos até seis dimensões, por que não continuar? Se usarmos a mesma idéia de começar com a teoria de Yang-Mills supersimétrica em dez dimensões e olharmos para a teoria de Yang-Mills-Higgs que ela implica em quatro, veremos que o monopolo e o bóson vetorial agora tem o mesmo spin, ambos dentro de um multipleto extendido \mathcal{N}=4. Isso é muito interessante, não só pelo resultado, mas porque essa teoria de SYM em dez dimensões é o limite de interações fracas da teoria de supercordas! Veja como a teoria de supercordas vive reaparecendo. A teoria de supercordas, mesmo que ela não seja a teoria final, tem um papel explicador tão grande que é difícil levar a sério as pessoas que dizem que ela está errada. Nos próximos posts vamos explorar mais essa teoria e ver o que ela nos ensina sobre dualidades eletromagnéticas.


Referências:

Notas:
* (Edit: 20/10/08) Ok, eu não estou sendo completamente sincero aqui, até porque a teoria não é completamente supersimétrica: o vácuo de monopolo só preserva metade das supersimetrias. O limite BPS nesses modelos é uma igualdade entre uma massa e uma quantidade topológica. O problema é que essa teoria é interagente, então a massa recebe correções quânticas dos campos massivos. Só que esses campos massivos vão a zero no infinito, como já sabíamos desde o trabalho de Yukawa, e então eles não podem introduzir correções quânticas nas cargas topológicas (condições de contorno da teoria). No entanto, há uma correção, que vem de uma anomalia. Agora, explicar isso nos levaria mais adiante do que eu gostaria… veja o artigo do Witten e Olive para ver que, mesmo pessoas muito inteligentes não perceberam isso de primeira.

Eu acho que, para o propósito desses posts, vale mais a pena pegar a idéia de que sob uma dualidade eletromagnética leis de conservação de Nöther, ie. aquelas que só são válidas quando as equações de movimento são obedecidas, são trocadas por leis de conservação topológicas. E vice-versa.

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