Dualidades – Parte 2 (Supersimetria)

Vamos continuar com minha tentativa, que ser tornará cada vez mais impossível, de fazer essa introdução sobre dualidades em forma de divulgação científica.

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Na última vez falamos sobre monopolos magnéticos e seu papel em teorias duais. Chegamos a uma teoria que tem um monopolo bem comportado, a teoria de Yang-Mills-Higgs, mas fechamos o post com dois problemas: as correções quânticas ao limite BPS e o erro do spin. Vamos tentar consentar isso.

Primeiro, vamos discutir sobre uma extensão da proposta de dualidade. Nós vimos que a dualidade eletromagnética é como se fosse uma raiz quadrada da simetria de conjugação de carga. No entanto, isso pode ser estendido se introduzirmos um termo na teoria de Yang-Mills-Higgs chamado termo-. Não há nada que impeça a introdução desse termo: ele não quebra nenhuma simetria nem torna a teoria mal definida. Ele é o responsável pela quebra da simetria CP, assunto que foi prêmio Nobel esse ano. O fato desse termo ser muito pequeno é um problema em aberto na nossa compreensão do modelo padrão das partículas fundamentais, chamado problema de CP forte. Apesar de muito pequeno, esse termo é interessante porque ele parametriza os vácuos da teoria de Yang-Mills-Higgs. O vácuo da teoria de YMH é algo bem complexo e uma das entidades mais estudadas em física teórica. Esse termo mistura diversos desses vácuos através de tunelamentos quânticos por ínstantons. Quando se leva em consideração a física dos ínstantons, percebe-se que esse termo é periódico. Quando se junta essa periodicidade à dualidade eletromagnética, a simetria fica estendida a um grupo que é conhecido na matemática como SL(2,Z). Esse grupo vive aparecendo na matemática quando se estuda números complexos e no youtube tem um vídeo bonito sobre elas:

No que se refere aos monopolos magnéticos esse termo resulta em duas mudanças. Primeiro, ele muda as cargas magnéticas e elétricas, o que é conhecido como efeito Witten. Além disso, esse grupo, diferentemente da dualidade eletromagnética usual, é de ordem infinita. Isso quer dizer que em vez de só trocar monopolos por bósons vetoriais, podemos aplicar ele infintas vezes gerando cada vez estados novos, chamados dyons, porque eles vão ter carga elétrica e magnética. O argumento de Sen, que falei no post anterior, diz respeito justamente ao espectro desses dyons.

Esse grupo também aparece como simetrias de teorias definas num toróide. Isso é bem importante em teoria de supercordas quando se calcula amplitudes de espalhamentos. Podemos importar essa idéia e imaginar que a teoria com monopolos é uma teoria numa dimensão superior, onde essa simetria do toróide é manifesta. Essa discussão pode ser levada adiante e ela desemboca nas dualidades em teoria de supercordas e teoria M onde há naturalmente uma dualidade SL(2,Z), mas isso fica para outro post (até porque eu teria que estudar mais para contar a história decentemente). Vamos, por enquanto, ficar só com a idéia de que podemos começar a escrever a teoria numa dimensão superior e ver seu efeito em quatro dimensões.

Vou fazer uma pausa nessa idéia de dimensões superiores e discutir uma outra idéia que é objeto de muitos estudos em física teórica: supersimetria. A supersimetria é uma simetria proposta que resulta na existência de um parceiro para cada partícula existente. Esses parceiros supersimétricos nunca foram observados, mas há muito gente procurando e vai ter muito mais quando o LHC começar a funcionar definitivamente. Esses parceiros são desejáveis porque eles cancelam quase todas as correções quânticas das partículas usuais. Isso cancela divergências que, de outra forma, tornariam teorias quânticas mais difíceis de serem bem definidas. Num nível não perturbativo, nem todas as correções se cancelam, mas até isso é interessante. A idéia é que talvez a supersimetria proteja o limite de BPS fazendo com que ele seja exato inclusive na teoria quântica, possibilitando uma teoria quântica com dualidade eletromagnética.

Quando temos uma teoria supersimétrica, não é mais exatamente correto falar em partículas. Mas sim no multipleto contendo a partícula e seu parceiro supersimétrico. Podemos imaginar inclusive teorias com multipletos bem grandes onde não há apenas duas partículas que sejam parceiros mas mais partículas. Isso chama-se supersimetria extendida. Há várias formas de se estender consistentemente esse multipleto. A forma mais econômica, ie, com o menos número de parceiros, é quando as massas obedecem uma igualdade que tem exatamente a mesma forma do limite BPS. Hum…. só que em vez de cargas magnéticas temos agora objetos topológicos escritos em termos das condições de contorno dos campos. Se você se lembrar da discussão sobre monopolos de Dirac, você vai ver que isso é uma excelente idéia, pois desde o início, a carga magnética era um objeto topológico. Mas mais do que isso, sendo essa uma propriedade da supersimetria, ela é válida inclusive na teoria quântica.*

Vamos agora juntar as duas idéias: começemos com uma teoria supersimétrica numa dimensão superior e reduzamos às nossas quatro dimensões. Por exemplo, se começarmos com uma teoria supersimétrica de Yang-Mills em seis dimensões, obtemos uma teoria de Yang-Mills-Higgs em quatro dimensões com supersimetria extendida (dobrada, o que é chamado ). Essa teoria tem então monopolos magnéticos! Mais do que isso, podemos mostrar que a lei e conservação topológica que falei anteriormente é exatamente o limite BPS. 🙂 Fantástico. Essa idéia pode ser aplicada em diversas situações, inclusive em sistemas mais simples na mecânica quântica tradicional. Vale a pena dar uma lida:

Supersymmetry algebras that include topological charges. D Olive, E Witten – Phys. Lett. B, 1978

Perceba que um dos problemas que tínhamos no início do post foi resolvido. O outro persiste porque, ao se estudar detalhadamente o multipleto supersimétrico, percebe-se que o monopolo e o bóson vetorial ainda vão ter spins diferentes. Isso não tira o interesse na teoria. Muito pelo contrário, essa teoria tem várias surpresas que foram descobertas por Witten e Seiberg (um review pedagógico: L Alvarez-Gaume, SF Hassan – Arxiv preprint hep-th/9701069, e certamente eu vou fazer um post sobre essas teorias mais detalhado no futuro).

Como resolver o segundo problema? Se fomos até seis dimensões, por que não continuar? Se usarmos a mesma idéia de começar com a teoria de Yang-Mills supersimétrica em dez dimensões e olharmos para a teoria de Yang-Mills-Higgs que ela implica em quatro, veremos que o monopolo e o bóson vetorial agora tem o mesmo spin, ambos dentro de um multipleto extendido . Isso é muito interessante, não só pelo resultado, mas porque essa teoria de SYM em dez dimensões é o limite de interações fracas da teoria de supercordas! Veja como a teoria de supercordas vive reaparecendo. A teoria de supercordas, mesmo que ela não seja a teoria final, tem um papel explicador tão grande que é difícil levar a sério as pessoas que dizem que ela está errada. Nos próximos posts vamos explorar mais essa teoria e ver o que ela nos ensina sobre dualidades eletromagnéticas.

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Referências:

• Electromagnetic Duality for Children
• Magnetic Monopoles, Duality, and Supersymmetry
• Supersymmetry Algebras that Include Topological Charges
• Introduction to S-Duality in N=2 Supersymmetric Gauge Theory

Notas:
* (Edit: 20/10/08) Ok, eu não estou sendo completamente sincero aqui, até porque a teoria não é completamente supersimétrica: o vácuo de monopolo só preserva metade das supersimetrias. O limite BPS nesses modelos é uma igualdade entre uma massa e uma quantidade topológica. O problema é que essa teoria é interagente, então a massa recebe correções quânticas dos campos massivos. Só que esses campos massivos vão a zero no infinito, como já sabíamos desde o trabalho de Yukawa, e então eles não podem introduzir correções quânticas nas cargas topológicas (condições de contorno da teoria). No entanto, há uma correção, que vem de uma anomalia. Agora, explicar isso nos levaria mais adiante do que eu gostaria… veja o artigo do Witten e Olive para ver que, mesmo pessoas muito inteligentes não perceberam isso de primeira.

Eu acho que, para o propósito desses posts, vale mais a pena pegar a idéia de que sob uma dualidade eletromagnética leis de conservação de Nöther, ie. aquelas que só são válidas quando as equações de movimento são obedecidas, são trocadas por leis de conservação topológicas. E vice-versa.